Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(2，

3

)，且它的離心率e=

1

2

．直線l：y=kx+t與橢圓C₁交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）當k=

3

2

時，求證：M、N兩點的橫坐標的平方和為定值；
（Ⅲ）若直線l與圓C2：(x-1)2+y2=1相切，橢圓上一點P滿足

OM

+

ON

=λ

OP

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把點(2，

3

)代入橢圓方程得一方程，由離心率為

1

2

得

c

a

=

1

2

，由a²=b²+c²得方程，聯(lián)立解方程組即可；
（Ⅱ）把k=

3

2

時的直線方程代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，則x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，代入韋達定理即可求得定值；
（Ⅲ）由直線與圓相切可得k，t的關(guān)系式①，把直線方程代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達定理、向量運算可得P點坐標，代入橢圓方程可得一等式②，由①②消掉k，得λ關(guān)于t的函數(shù)式，借助t的范圍即可求得λ的范圍；

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得：

4 a2 + 3 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，解得 

a2=8 b2=6

，
所以橢圓的標準方程為：

x2

8

+

y2

6

=1；
（Ⅱ） 由

y= 3 2 x+t x2 8 + y2 6 =1

，得6x2+4

3

tx+4t2-24=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-4 3 t

6

，x1x2=

4t2-24

6

，
則x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-

4 3 t

6

)2-2•

4t2-24

6

=8，為定值．
（Ⅲ）因為直線l：y=kx+t與圓（x-1）²+y²=1相切，
所以，

|t+k|

1+k2

=1⇒2k=

1-t2

t

(t≠0)，
把y=kx+t代入

x2

8

+

y2

6

=1并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則有x1+x2=-

8kt

3+4k2

，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=

6t

3+4k2

，
因為λ

OP

=(x1+x2，y1+y2)，所以P(

-8kt

(3+4k2)λ

，

6t

(3+4k2)λ

)，
又因為點P在橢圓上，
所以

8k2t2

(3+4k2)2λ2

+

6t2

(3+4k2)2λ2

=1⇒λ2=

2t2

3+4k2

=

2

( 1 t2 )2+ 1 t2 +1

．   
 因為t²＞0，所以 (

1

t2

)2+(

1

t2

)+1＞1，
所以0＜λ²＜2，所以λ的取值范圍為 (-

2

，0)∪(0，

2

)．

點評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，韋達定理、判別式、點到直線的距離公式等是解決該類題目的基礎(chǔ)知識，要熟練掌握．