Question

14．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），上、下頂點分別為B₁、B₂，右準線l：x=4．
（1）求橢圓的方程；
（2）連接B₁F₂并延長交橢圓于點M，連接B₂M并延長交右準線于點N，求點N的坐標；
（3）是否存在非零常數λ，μ，使得對橢圓上任一點Q，總有$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$且AB=μ（其中點A在x軸上，點B在y軸上），若存在，求出常數λ，μ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，c=1，準線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即a=2，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓的方程；
（2）直線B₁M方程為：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，代入橢圓方程，求得點M（$\frac{8}{5}$，$\frac{-3\sqrt{3}}{5}$），直線B₂M方程為：y=$\frac{1}{4}$$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，當x=4，求得y=0，即可求得點N的坐標；
（3）A點的坐標為（-a，0），B點坐標為（0，b），a²+b²=μ²，$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{QB}丨}$=λ，設Q點坐標為（x，y），則-x=$\frac{丨\overrightarrow{QB}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•丨$\overrightarrow{AO}$丨=$\frac{1}{λ+1}$a，y=$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•b=$\frac{λ}{λ+1}$b，代入橢圓方程，整理可知：當4λ²-3=0時，即當λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，3μ²=12（λ+1）²，即可求得常數λ，μ的值．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）橢圓的焦點在x軸上，
由c=1，準線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即a=2，
由b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）直線B₁M方程為：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
代入橢圓方程，求得點M（$\frac{8}{5}$，$\frac{-3\sqrt{3}}{5}$），
直線B₂M方程為：y=$\frac{1}{4}$$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
代入橢圓方程，當x=4，求得y=0，
∴N（-4，0），
（3）如圖可知：A點的坐標為（-a，0），B點坐標為（0，b），
由a²+b²=μ²，
由$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{QB}丨}$=λ，
設Q點坐標為（x，y），則-x=$\frac{丨\overrightarrow{QB}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•丨$\overrightarrow{AO}$丨=$\frac{1}{λ+1}$a，
y=$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•b=$\frac{λ}{λ+1}$b，
∵Q在橢圓上，則Q（x，y）滿足橢圓方程，
$\frac{3{a}^{2}}{（λ+1）^{2}}$+$\frac{{λ}^{2}^{2}}{（λ+1）^{2}}$=12，整理得：3a²+4λ²b²=12（λ+1）²，
由a²+b²=μ²，則a²=μ²-b²，
代入整理得：3（μ²-b²）+4λ²b²=12（λ+1）²，即3μ²+（4λ²-3）b²=12（λ+1）²，
∴當4λ²-3=0時，即當λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，
3μ²=12（λ+1）²，
則μ=4（λ+1）²，即μ=$\sqrt{3}$+2，
∴當λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，總有$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$且AB=μ=$\sqrt{3}$+2．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓位置關系，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想與函數與方程思想的應用，屬于中檔題．