Question

19．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）上一點M關(guān)于漸進線的對稱點恰為右焦點F₂，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)M（m，n），右焦點F₂（c，0），雙曲線的一條漸近線方程為y=-$\frac{a}$x，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及中點坐標(biāo)公式，解方程可得m，n，代入雙曲線的方程，化簡整理，結(jié)合雙曲線的基本量和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)M（m，n），右焦點F₂（c，0），
雙曲線的一條漸近線方程為y=-$\frac{a}$x，
由題意可得-$\frac{a}$•$\frac{n-0}{m-c}$=-1①
$\frac{1}{2}$n=-$\frac{a}$•$\frac{m+c}{2}$②
由①②解得m=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{c}$，n=-$\frac{2ab}{c}$，
將M（$\frac{{a}^{2}-^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$）代入雙曲線的方程，可得：
$\frac{（{a}^{2}-^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}^{2}}$=1，由b²=c²-a²，
化為（2a²-c²）²-4a⁴=a²c²，
即為c²=5a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程和點關(guān)于直線對稱的特點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．