證明：
（1）已知x，y都是正實數(shù)，求證：x
3+y
3≥x
2y+xy
2，
（2）已知a，b，c∈R
+，且a+b+c=1，求證：
．
【答案】
分析：（1）用比較法證明不等式，（x
3+y
3 ）-（x
2y+xy
2）=（x+y）（x-y）
2，分析符號可得結(jié)論．
（2）由題意得，1=（a+b+c）
2=a
2+b
2+c
2+2ab+2bc+2ac≤3（a
2+b
2+c
2），結(jié)論得證．
解答：證明：（1）∵（x
3+y
3 ）-（x
2y+xy
2）=x
2 （x-y）+y
2（y-x）=（x-y）（x
2-y
2 ）
=（x+y）（x-y）
2．
∵x，y都是正實數(shù)，∴（x-y）
2≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）
2≥0，
∴x
3+y
3≥x
2y+xy
2．
（2）∵a，b，c∈R
+，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）
2=a
2+b
2+c
2+2ab+2bc+2ac
≤3（a
2+b
2+c
2），∴a
2+b
2+c
2≥
，當且僅當a=b=c 時，等號成立．
點評：本題考查用比較法證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，將式子變形是證明的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
證明：
（1）已知x，y都是正實數(shù)，求證：x
3+y
3≥x
2y+xy
2，
（2）已知a，b，c∈R
+，且a+b+c=1，求證：
a2+b2+c2 ≥ ．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2011-2012學(xué)年寧夏吳忠市鹽池高中高三摸底數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
證明：
（1）已知x，y都是正實數(shù)，求證：x
3+y
3≥x
2y+xy
2，
（2）已知a，b，c∈R
+，且a+b+c=1，求證：
．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2012年吉林省實驗中學(xué)高考數(shù)學(xué)六模試卷（文科）（解析版）
題型：解答題
證明：
（1）已知x，y都是正實數(shù)，求證：x
3+y
3≥x
2y+xy
2，
（2）已知a，b，c∈R
+，且a+b+c=1，求證：
．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2011年遼寧省錦州市高考數(shù)學(xué)三模試卷（解析版）
題型：解答題
證明：
（1）已知x，y都是正實數(shù)，求證：x
3+y
3≥x
2y+xy
2，
（2）已知a，b，c∈R
+，且a+b+c=1，求證：
．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2010-2011學(xué)年海南省國興中學(xué)、海師附中、嘉積中學(xué)、三亞一中高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
證明：
（1）已知x，y都是正實數(shù)，求證：x
3+y
3≥x
2y+xy
2，
（2）已知a，b，c∈R
+，且a+b+c=1，求證：
．
查看答案和解析>>
