Question

【題目】已知函數(shù) (為實常數(shù)).

(1)若， ，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若，且，求函數(shù)在上的最小值及相應(yīng)的值；

(3)設(shè)，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）當(dāng)， 時，最小值為1；當(dāng)， 時，最小值為； （Ⅲ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入的值，求得，然后由的符號得到單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）分與兩種情況討論的單調(diào)性，求出各段的最小值；（Ⅲ）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，然后通過求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性求得實數(shù)的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ） 時， ，

定義域為，

在上， ，當(dāng)時， ；當(dāng)時，

所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅱ）因為，所以， ， ，

（Ⅰ）若，在上非負(fù)（僅當(dāng)時， ），

故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時

（Ⅱ）若， ，

當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ，此時是減函數(shù)；

當(dāng)時， ，此時是增函數(shù)，

故

（Ⅲ），

不等式，即可化為．

因為， 所以且等號不能同時取，

所以，即，因而（）

令（），又，

當(dāng)時， ， ，

從而（僅當(dāng)時取等號），所以在上為增函數(shù)，

故的最小值為，所以實數(shù)的取值范圍是