Question

【題目】已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=|t（x+ ）﹣5|，其中常數(shù)t＞0．
（1）若函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（0，2），（2，+∞）上單調(diào)，試求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，方程f（x）=m有四個不相等的實(shí)根x1 ， x2 ， x3 ， x4 ． ①求四根之積x1x2x3x4的值；
②在[1，4]上是否存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得f（x）在[a，b]上單調(diào)且取值范圍為[ma，mb]？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)h（x）=t（x+ ）

∵t＞0，

∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，2），（2，+∞）上單調(diào)，且h（x）≥4t，

要使函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（0，2），（2，+∞）上單調(diào)，

只需4t﹣5≥0，

∴t≥

（2）解：①當(dāng)t=1 時(shí)，由f（x）=m得|（x+ ）﹣5|=m，

∴（x+ ）﹣5=m，或（x+ ）﹣5=﹣m，

即x2﹣（m+5）x+4=0，或x2+（m+5）x+4=0

∵x1，x2，x3，x4是方程f（x）=m的四個不相等的實(shí)根，

∴x1x2x3x4=4×4=16

②f（x）在區(qū)間（0，1），（1，2），（2，4），（4，+∞）上均為單調(diào)函數(shù)

（i）當(dāng)[a，b]（1，2]時(shí)，f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，則

即m= 在a∈（1，2]時(shí)，有兩個不等實(shí)根

而令 ，則 =φ（t）=﹣4（t﹣ ）2+ ，

則φ（t）=﹣4（t﹣ ）2+ =m在[ ，1）上有兩個根，

由當(dāng)t= 時(shí)，函數(shù)φ（t）取最大值 ，

當(dāng)t= 時(shí)，φ（ ）= ，當(dāng)t=1時(shí)，φ（1）=0，

故

（ii）當(dāng)[a，b]（2，4]時(shí)，f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，則 兩式相除得（a﹣b）（a+b﹣5）=0

∴a+b=5，

∴b=5﹣a＞a，

∴2＜a＜ ，

由﹣a﹣ +5=mb得：m= =1+ ∈（ ， ），

綜上，m的取值范圍為（ ， ）

【解析】（1）設(shè)h（x）=t（x+ ）結(jié)合對勾函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可得函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，2），（2，+∞）上單調(diào)，且h（x）≥4t，要使函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（0，2），（2，+∞）上單調(diào)，只需4t﹣5≥0，解得：實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）當(dāng)t=1時(shí)，由f（x）=m得|（x+ ）﹣5|=m，即（x+ ）﹣5=m，或（x+ ）﹣5=﹣m，即x2﹣（m+5）x+4=0，或x2+（m+5）x+4=0， ①由韋達(dá)定理，可得四根之積x1x2x3x4的值；
②f（x）在區(qū)間（0，1），（1，2），（2，4），（4，+∞） 上均為單調(diào)函數(shù)，（1）當(dāng)[a，b]（1，2]時(shí)，f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，則 ；（2）當(dāng)[a，b]（2，4]時(shí)，f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，則 ；綜合討論結(jié)果，可得m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集．