在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）設E為PC的中點，點F在線段AB上，若直線EF∥平面PAD，求AF的長；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．
（1）證明：∵△ABC是正三角形，M是AC中點，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（2）取DC中點G，連接FG，則EG∥平面PAD，

∵直線EF∥平面PAD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAD，
∵FG?平面EFG，
∴FG∥平面PAD
∵M為AC中點，DM⊥AC，
∴AD=CD．
∵∠ADC=120°，AB=4，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，AD=CD=
4
3
3
，
∵∠DGF=60°，DG=
2
3
3
，∴AF=1
（3）分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標系，

∴B（4，0，0），C（2，2
3
，0），D（0，
4
3
3
，0），P（0，0，4）．
DB
=（4，-
4
3
3
，0）為平面PAC的法向量．
設平面PBC的一個法向量為
n
=（x，y，z），則
∵
PC
=（2，2
3
，-4），
PB
=（4，0，-4），
∴
2x+2
3
y-4z=0
4x-4z=0
，
令z=3，得x=3，y=
3
，則平面PBC的一個法向量為
n
=（3，
3
，3），
設二面角A-PC-B的大小為θ，則cosθ=
n
•
DB
|
n
||
DB
|
=
7
7
．
∴二面角A-PC-B余弦值為
7
7
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知
a
=（2，-1，3），
b
=（-1，4，-2），
c
=（3，2，λ），若
a
、
b
、
c
三向量共面，則實數(shù)λ等于（　�。�
A．2B．3C．4D．5

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點H在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線B′D′上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH與CC′所成角的大�。�
（Ⅱ）求DH與平面AA′D′D所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的點，且CE=1．
（1）求證BE⊥B1C；
（2）求直線A1B與直線B1C所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，點D是BC上一點，且AD⊥C1D．
（1）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求證：A1B∥平面ADC1；
（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點P在邊AB上，設
AP
=λ
PB
（λ＞0），過點P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求證：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正實數(shù)λ，使得二面角C-A′B′-P的大小為90°？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F(xiàn)是PD的中點，E是線段AB上的點．
（Ⅰ）當E是AB的中點時，求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大小為45°，試確定E點的位置．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出
EF
EA
；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

四邊形OABC中，，若，，則（  ）
A．B．C．D．

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