(2013•順義區(qū)二模)已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓G的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓G上,且△PF1F2的周長為4+4
2

(Ⅰ)求橢圓G的方程
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn),若
OA
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:直線l與圓x2+y2=
8
3
相切.
分析:(Ⅰ)由已知得,
c
a
=
2
2
且2a+2c=4+4
2
,聯(lián)立方程組解出即得a,c,再由b2=a2-c2求得b值;
(Ⅱ)由題意可知,直線l不過坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)(y1>y2),分情況討論:(。┊(dāng)直線l⊥x軸時(shí),直線l的方程為x=m(m≠0)且-2
2
<m<2
2
,聯(lián)立直線方程與橢圓方程易求A,B坐標(biāo),由
OA
OB
得x1x2+y1+y2=0,可求m,從而易判斷直線與圓垂直;(ⅱ)當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,代入橢圓方程消掉y得x的二次方程,由韋達(dá)定理及x1x2+y1+y2=0可得k,m的方程①,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可表示圓心O到l的距離d,結(jié)合①式可求得d值,其恰好等于半徑r;
解答:(Ⅰ)解:由已知得,
c
a
=
2
2
且2a+2c=4+4
2
,
解得a=2
2
,c=2,
又b2=a2-c2=4,
所以橢圓G的方程為
x2
8
+
y2
4
=1
;
(Ⅱ)證明:由題意可知,直線l不過坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)(y1>y2),
(ⅰ)當(dāng)直線l⊥x軸時(shí),直線l的方程為x=m(m≠0)且-2
2
<m<2
2

則x1=m,y1=
4-
m2
2
,x2=m,y2=-
4-
m2
2

OA
OB
,∴x1x2+y1+y2=0,
m2-(4-
m2
2
)=0
,解得m=±
2
6
3
,
故直線l的方程為x=±
2
6
3

因此,點(diǎn)O(0,0)到直線l的距離為d=
2
6
3
,
又圓x2+y2=
8
3
的圓心為O(0,0),半徑r=
2
6
3
=d,
所以直線l與圓x2+y2=
8
3
相切;
(ⅱ)當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
x1+x2=
-4km
1+2k2
,x1x2=
2m2-8
1+2k2
,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
m2-8k2
1+2k2
,
OA
OB
,∴x1x2+y1y2=0,
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0,即3m2-8k2-8=0,3m2=8k2+8,①
又圓x2+y2=
8
3
的圓心為O(0,0),半徑r=
2
6
3

圓心O到直線l的距離為d=
|m|
1+k2
,
d2=(
|m|
1+k2
)2
=
m2
1+k2
=
3m2
3(1+k2)
②,
將①式帶入②式得
d2=
8k2+8
3(1+k2)
=
8
3
,
所以d=
2
6
3
=r,
因此,直線l與圓x2+y2=
8
3
相切.
點(diǎn)評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解,考查分類討論思想,考查學(xué)生對問題的閱讀理解能力及轉(zhuǎn)化能力,弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式、韋達(dá)定理是解決問題的基礎(chǔ)知識,要熟練掌握.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•順義區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=
ex
1+ax2
,其中a為正實(shí)數(shù),x=
1
2
是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)當(dāng)b>
1
2
時(shí),求函數(shù)f(x)在[b,+∞)上的最小值.

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log2x,x≥2
2-x,x<2
,則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是
[0,4]
[0,4]

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3-2i
1+i
=( 。

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