【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,是6與的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)是否存在正整數(shù),使不等式恒成立,若存在,求出的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);(2)存在,.

【解析】

試題分析:(1)解法一:根據(jù)的等差中項(xiàng),利用等差中項(xiàng)得到,當(dāng)時(shí)有,-得:,從而可得數(shù)列通項(xiàng);解法二:根據(jù)的等差中項(xiàng),利用等差中項(xiàng)得到,根據(jù)該式的結(jié)構(gòu)特征,利用構(gòu)造法,可構(gòu)造出等比數(shù)列,從而求得,進(jìn)而利用得到數(shù)列的通項(xiàng)(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,數(shù)列是等比數(shù)列,所以可以得到其前項(xiàng)和,代入化簡(jiǎn),討論的奇偶發(fā)現(xiàn),為奇數(shù)時(shí),恒成立;為偶數(shù)時(shí),可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立問題,利用單調(diào)性可判斷是否存在這樣的正整數(shù).

試題解析:(1)解法一:因?yàn)?/span>是6與的等差中項(xiàng),

所以,即,

當(dāng)時(shí)有

,即對(duì)都成立

又根據(jù),所以

所以.所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.

解法二:因?yàn)?/span>是6與的等差中項(xiàng)

所以,即,

由此得

,所以

所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.

,即

所以,當(dāng)時(shí),,

時(shí),也適合上式,所以.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,

數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,

所以其前項(xiàng)和為.

原問題等價(jià)于恒成立.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),不等式左邊恒為負(fù)數(shù),右邊恒為正數(shù),所以對(duì)任意正整數(shù)不等式恒成立;

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),等價(jià)于恒成立,

,有,則等價(jià)于恒成立,

因?yàn)?/span>為正整數(shù),二次函數(shù)的對(duì)稱軸顯然在軸左側(cè),

所以當(dāng)時(shí),二次函數(shù)為增函數(shù),故只須,解得,,所以存在符合要求的正整數(shù),且最大值為11.

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(1)將學(xué)生編號(hào)為:, 若從第行第列的數(shù)開始右讀,請(qǐng)你依次寫出最先抽出的 個(gè)人的編號(hào)(下面是摘自隨機(jī)用表的第四行至第七行)

(2)若數(shù)學(xué)優(yōu)秀率為,求的值;

(3)在語文成績(jī)?yōu)榱嫉膶W(xué)生中,已知,求數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)的人數(shù)少的概率.

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規(guī)定:當(dāng)食品中的有害微量元素的含量在時(shí)為一等品,在為二等品,20以上為劣質(zhì)品.

1)用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個(gè)數(shù)據(jù),再分別從這5個(gè)數(shù)據(jù)中各選取2個(gè),求甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率;

2)每生產(chǎn)一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣質(zhì)品虧損20元,根據(jù)上表統(tǒng)計(jì)得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品的頻率,分別估計(jì)這兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品的概率,若分別從甲、乙食品中各抽取1件,設(shè)這兩件食品給該廠帶來的盈利為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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