Question

【題目】如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若，，AB=BC，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）由四邊形是菱形可以得到，結(jié)合有平面，因此，根據(jù)是的中點(diǎn)得到．（2）由題設(shè)條件可證明，從而兩兩相互垂直，設(shè)為單位長，則建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算半平面的法向量的夾角來計(jì)算二面角的余弦值．

解析：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且為及的中點(diǎn)，又，，所以平面．由于平面，故．又，故 ．

（2）因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)?/span>，所以，故，從而兩兩相互垂直，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，又，則，．，，設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可取，設(shè)是平面的法向量，則，同理可取，，所以二面角的余弦值為．