Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=

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2

AB．直角梯形ACEF中，EF

∥ .

.

1

2

AC，∠FAC是銳角，且平面ACEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：BC⊥AF；
（Ⅱ）若直線DE與平面ACEF所成的角的正切值是

1

3

，試求∠FAC的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AB得中點(diǎn)H，連CH，由題意知四邊形ADCH為菱形，從而昨到△ACB為直角三角形，BC⊥AC，進(jìn)而得到BC⊥平面ACEF，由此能證明BC⊥AF． 
（Ⅱ）連結(jié)DH，交AC于MD，再連結(jié)EM、FM．由題意知四邊形ADCH為菱形，由已知條件推導(dǎo)出∠DEM即為直線DE與平面ACEF所成的角，由此能求出∠FAC的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在等腰梯形ABCD中，
∵AD=DC=CB=

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2

AB，∴AD、BC為腰，
取AB得中點(diǎn)H，連CH，由題意知四邊形ADCH為菱形，
則CH=AH=BH，故△ACB為直角三角形，∴BC⊥AC，…（3分）
∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACEF，∵AF?平面ACEF，故BC⊥AF． …（6分）
（Ⅱ）解：連結(jié)DH，交AC于MD，再連結(jié)EM、FM．由題意知四邊形ADCH為菱形，
∴DM⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，∴DM⊥平面ACEF．
∴∠DEM即為直線DE與平面ACEF所成的角．…（9分）
設(shè)AD=DC=BC=a，則MD=

1

2

a，MC=

3

2

a
依題意，tan∠DEM=

DM

EM

=

1

3

∴ME=

3

2

a
在Rt△ECM中，cos∠EMC=

MC

ME

=

3 2 a

3 2 a

=

3

3

，
∵EF

∥ .

.

1

2

AC=AM，∴四邊形AMEF為平行四邊形，
∴ME∥AF，∴∠FAC=∠EMC，
∴cos∠FAC=cos∠EMC=

3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．