如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成角余弦值的大。
(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.
(Ⅰ)略;(Ⅱ);(Ⅲ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)中主要利用線線垂直可證線面垂直;(Ⅱ)中通過作平行線轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)解角;當(dāng)然也可建系利用空間向量來解;(Ⅲ)中利用等體積法可求,亦可用空間向量來解.
試題解析:(Ⅰ)證明:連結(jié)OC
在中,由已知可得 而
即
平面 4分
(Ⅱ)解:取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角
在中,
是直角斜邊AC上的中線,
8分
(Ⅲ)解:設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為確規(guī)定
在中,
而
點(diǎn)E到平面ACD的距離為 12分
方法二:(Ⅰ)同方法一.
(Ⅱ)解:以O(shè)為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則
異面直線AB與CD所成角的余弦值為
(Ⅲ)解:設(shè)平面ACD的法向量為則
令得是平面ACD的一個(gè)法向量, 又
點(diǎn)E到平面ACD的距離
考點(diǎn):立體幾何線面垂直的證明;異面直線所成的角;點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分13分)如圖,四面體中,是的中點(diǎn),,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求異面直線與所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆安徽池州第一中學(xué)高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的正切值;
(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江西省高二下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(實(shí)驗(yàn)班) 題型:解答題
如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的余弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離。
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