（本小題滿分15分） 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，橢圓 的對稱軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)是，點(diǎn)在橢圓上．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)直線與軌跡在處的切線平行，且直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問：是否存在著這樣的直線使得的面積等于？如果存在，請求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

（Ⅰ）軌跡的方程，橢圓的方程為．（Ⅱ）的面積等于的直線不存在．

解析試題分析：（Ⅰ）設(shè)過圓心作直線直線的垂線，垂足為，由題意得，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等．由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為． ------3分
設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)代入方程得，
整理得，解得或（舍去）．
故所求橢圓的方程為．------------------------6分
（Ⅱ）軌跡的方程為即，則，---------------7分
所以軌跡在處的切線的斜率為，故直線的斜率為， 假設(shè)符合題意的直線方程為． --------8分
代入橢圓方程化簡得，設(shè)，，，，，-----------------9分
故，------------------------10分
又點(diǎn)到直線的距離是， --------------------11分
故-------------------13分
當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)（滿足）．--------------14分
此時(shí)的面積等于，
所以的面積等于的直線不存在．--------------15分
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)；圓的簡單性質(zhì)；軌跡方程的求法；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一已知曲線的定義條件。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的頂點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，它們的離心率之和為，若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，求橢圓的方程.

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(本小題滿分14分)
已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，又橢圓上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為，過點(diǎn)M（0，）與x軸不垂直的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)在y軸上是否存在定點(diǎn)N，使以PQ為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

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（本題滿分14分）
已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn).  
證明：以線段為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn).

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（本小題滿分14分）
如圖，已知橢圓，是橢圓的頂點(diǎn)，若橢圓的離心率，且過點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)作直線，使得，且與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于橢圓的頂點(diǎn)），設(shè)直線和直線的傾斜角分別是，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)。
（1）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且·=求點(diǎn)的坐標(biāo)。
（2）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。

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（本小題滿分14分）過點(diǎn)(1,0)直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是．
(ⅰ)證明：為定值；
(ⅱ)若AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求AB的長度及的方程．

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(本題滿分12分)雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(，4)，求其方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)
已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過M（－2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線在軸上的截距b的取值范圍．

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