Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=1，函數(shù)g（x）=（x-m）f（x）-e^x+x²+x在x∈（2，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，函數(shù)的導數(shù)（x）=e^x-a
通過當a≤0時，當a＞0時，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）當a=1時，化簡g（x）=（x-m）（e^x-x）-e^x+x²+x，通過g（x）在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化g'（x）=xe^x-me^x+m+1≥0在x∈（2，+∞）恒成立，推出m≤

xex+1

ex-1

在x∈（2，+∞）恒成立，通過構(gòu)造新函數(shù)利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為x∈R，f'（x）=e^x-a
當a≤0時，f'（x）＞0，所以f（x）在R上為增函數(shù)；
當a＞0時，由f'（x）=0得x=lna
則：當x∈（-∞，lna）時，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上為減函數(shù)，
當x∈（lna，+∞）時，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（lna，+∞）上為增函數(shù)．…（6分）
（Ⅱ）當a=1時，g（x）=（x-m）（e^x-x）-e^x+x²+x，
∵g（x）在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，∴g'（x）=xe^x-me^x+m+1≥0在x∈（2，+∞）恒成立，
即m≤

xex+1

ex-1

在x∈（2，+∞）恒成立，
令h(x)=

xex+1

ex-1

，x∈（2，+∞），h′(x)=

(ex)2-xex-2ex

(ex-1)2

=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

，
令L（x）=e^x-x-2，L'（x）=e^x-1＞0在x∈（2，+∞）恒成立，
即L（x）=e^x-x-2在x∈（2，+∞）單調(diào)遞增，
即L（x）＞L（2）=e²-4＞0，∴h'（x）＞0
即h(x)=

xex+1

ex-1

在x∈（2，+∞）單調(diào)遞增，h(x)＞h(2)=

2e2+1

e2-1

所以m≤

2e2+1

e2-1

．       …（12分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最值，構(gòu)造法的應用，考查分析問題解決問題的能力．