Question

9．已知函數(shù)f（x）=2e^x，g（x）=ax+2．記F（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若F（x）≥0恒成立，求證：x₁＜x₂時，$\frac{F（{x}_{2}）-F（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞2（e${\;}^{{x}_{1}}$-1）恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得f′（x），對a分類討論即可得出其單調(diào)性；
（2）通過對a分類討論，得到當a=2，滿足條件且e^x-1≥x，當且僅當x=0時，取“=”利用此結(jié)論即可證明．

解答 解：（Ⅰ）F′（x）=2e^x-a …（2分）
若a≤0，則F′（x）≥0，F(xiàn)（x）在R上遞增；…（3分）
若a＞0，令F′（x）=0，得x=ln$\frac{a}{2}$．…（4分）
所以，當x∈（-∞，ln$\frac{a}{2}$）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；
當x∈（ln$\frac{a}{2}$，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．…（5分）
（Ⅱ）證明：①若a≤0，則F（x）在R上遞增，…（6分）
又因為F（0）=0，所以F（x）≥0不可能恒成立…（7分）
②若a＞0，則由F（x）≥0=F（0）可知，x=0應(yīng)該為極小值點，
所以ln$\frac{a}{2}$=0，得：a=2，所以F（x）=2（e^x-x-1）當且僅當x=0時，F(xiàn)（0）=0…（9分）
故當x₁＜x₂時，x₂-x₁＞0
F（x₂）-F（x₁）=2${e}^{{x}_{1}}$（${e}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$-1）-2（x₂-x₁），（*）
由F（x）＞0?e^x-x-1＞0?e^x-1＞x，得：${e}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$-1＞x₂-x₁，
所以上式（*）＞2${e}^{{x}_{1}}$（x₂-x₁）-2（x₂-x₁），
 故$\frac{F（{x}_{2}）-F（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞2（${e}^{{x}_{1}}$-1）…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問題及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，對能力要求較高，屬于綜合題．