Question

已知拋物線C的方程為x²=4y，直線y=2與拋物線C相交于M，N兩點，點A，B在拋物線C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為定值；
（Ⅱ）若直線AB的斜率為

2

，且點N到直線MA，MB的距離的和為8，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，由∠BMN=∠AMN，知直線BM的斜率為-k，所以直線AM的方程為y=k(x+2

2

)-2，由此能夠證明直線AB的斜率為定值．
（Ⅱ）若直線AB的斜率為

2

，由x1=4kAM+2

2

，x2=4kBM+2

2

，知k_AM+k_BM=0，∠BMN=∠AMN，由點N到直線MA，MB的距離的和為8，知點N到直線MA，MB的距離均為4，由此能得到△MAB是直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，
∵∠BMN=∠AMN，所以直線BM的斜率為-k，
可求得M(-2

2

，2)，N(2

2

，2)，則直線AM的方程為y=k(x+2

2

)-2，
代入x²=4y得x2-4kx-8

2

k-8=0，
∵xAx1=-8

2

k-8∴x1=4k+2

2

，
同理x2=-4k+2

2

，kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

．（5分）
（Ⅱ）若直線AB的斜率為

2

，由（1）可得：x1=4kAM+2

2

，x2=4kBM+2

2

，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

4(kAM+kBM)+4 2

4

=

2

，
∴k_AM+k_BM=0，
∴∠BMN=∠AMN，（8分）
又點N到直線MA，MB的距離的和為8，
所以點N到直線MA，MB的距離均為4，
∵MN=4

2

，
∴∠BMN=∠AMN=45°，
所以△MAB是直角三角形．   （10分）

點評：本題考查直線和拋物線的綜合運用，解題時要認真審題，注意拋物線性質的靈活運用，合理地進行等價轉化．