Question

四邊形ABCD中，

AB

=(6，1)，

BC

=(x，y)，

CD

=(-2，-3)
（1）若

BC

∥

DA

，試求x與y滿足的關(guān)系式；
（2）滿足（1）的同時(shí)又有

AC

⊥

BD

，求x，y的值及四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的三個(gè)向量的坐標(biāo)，寫出要用的

DA

的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量平行的充要條件寫出關(guān)系式，整理成最簡形式．
（2）寫出

AC

向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件寫出關(guān)系式，結(jié)合上一問的結(jié)果，聯(lián)立解方程，針對(duì)于解答的兩種情況，得到四邊形的面積．

解答：解：

BC

=(x，y)

DA

=-

AD

=-(

AB

+

BC

+

CD

)=-(x+4，y-2)=(-x-4，-y+2)
（1）∵

BC

∥

DA

∴x•（-y+2）-y•（-x-4）=0，
化簡得：x+2y=0；
（2）

AC

=

AB

+

BC

=(x+6，y+1)，

BD

=

BC

+

CD

=(x-2，y-3)
∵

AC

⊥

BD

∴（x+6）•（x-2）+（y+1）•（y-3）=0
化簡有：x²+y²+4x-2y-15=0，
聯(lián)立

x+2y=0??????  x2+y2+4x-2y-15=0

解得

x=-6 y=3

或

x=2 y=-1

∵

BC

∥

DA

AC

⊥

BD

則四邊形ABCD為對(duì)角線互相垂直的梯形
當(dāng)

x=-6 y=3

AC

=(0，4)   

BD

=(-8，0)
此時(shí)SABCD=

1

2

•|

AC

|•|

BD

|=16
當(dāng)

x=2 y=-1

AC

=(8，0)   

BD

=(0，-4)，
此時(shí)SABCD=

1

2

•|

AC

|•|

BD

|=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量垂直和平行的充要條件，結(jié)合向量的加減運(yùn)算，利用方程思想，是一個(gè)綜合問題，運(yùn)算量比較大，注意運(yùn)算過程不要出錯(cuò)，可以培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)向量的工具作用．