【題目】如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,PA⊥平面ABCD.

(1)PA=AB,點(diǎn)EPC的中點(diǎn),求直線AE與平面PCD所成角的正弦值;

(2)BEPC且交點(diǎn)為E,BE=a,GCD的中點(diǎn),線段AB上是否存在點(diǎn)F,使得EF∥平面PAG?若存在,AF的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,得出以及平面PCD的一個(gè)法向量,設(shè)直線AE與平面PCD所成角為,由sin=|cos<,m>|,即可求出直線AE與平面PCD所成角的正弦值

(2)設(shè)P(0,0,c)(c>0),BE=a以及BEPC可得λ=,c=a設(shè)AF=l,求出平面PAG的法向量為n,由·n=0即可得出答案。

(1)A為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),E=(a,0,0),=(0,a,-a).

設(shè)平面PCD的法向量m=(x,y,z),

m=(0,1,1),

cos<,m>=.

設(shè)直線AE與平面PCD所成角為,

sin=|cos<,m>|,所以直線AE與平面PCD所成角的正弦值為.

(2)G,設(shè)P(0,0,c)(c>0),

=(-a,-a,c).

設(shè),E((1-λ)a,(1-λ)a,λc),

=(-λa,(1-λ)a,λc).

BE=a,

(-λa)2+[(1-λ)a]2+(λc)2=.

BEPC,λa2-(1-λ)a2+λc2=0.

c2==a2.

由①②解得λ=,c=a,

E,P(0,0,a).

若存在滿足條件的點(diǎn)F,可設(shè)AF=l(0≤l≤a),

F(l,0,0),.

設(shè)平面PAG的法向量為n=(s,t,p),

n=(-2,1,0).

EF∥平面PAG,·n=0.

-2l+a-a=0,l=a.

∴存在滿足條件的點(diǎn)F,AF=a.

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