【題目】設(shè) = , =(4sinx,cosx﹣sinx),f(x)= .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)已知常數(shù)ω>0,若y=f(ωx)在區(qū)間 是增函數(shù),求ω的取值范圍;
(3)設(shè)集合A= ,B={x||f(x)﹣m|<2},若AB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)=sin2 4sinx+(cosx+sinx)(cosx﹣sinx)
=4sinx +cos2x
=2sinx(1+sinx)+1﹣2sin2x=2sinx+1,
∴f(x)=2sinx+1.
(2)解:∵f(ωx)=2sinωx+1,ω>0.
由2kπ﹣ ≤ωx≤2kπ+ ,
得f(ωx)的增區(qū)間是 ,k∈Z.
∵f(ωx)在 上是增函數(shù),
∴ .
∴﹣ ≥﹣ 且 ≤ ,
∴ .
(3)解:由|f(x)﹣m|<2,得﹣2<f(x)﹣m<2,即f(x)﹣2<m<f(x)+2.
∵AB,∴當(dāng) ≤x≤ 時(shí),
不等式f(x)﹣2<m<f(x)+2恒成立,
∴f(x)max﹣2<m<f(x)min+2,
∵f(x)max=f( )=3,f(x)min=f( )=2,
∴m∈(1,4).
【解析】(1)通過數(shù)量積的計(jì)算,利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式,化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,即可.(2)結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,y=f(ωx)在區(qū)間 是增函數(shù),說明 .求出ω的取值范圍;(3)簡(jiǎn)化集合B,利用AB,得到恒成立的關(guān)系式,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性:在上是增函數(shù);在上是減函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖2,四邊形為矩形, ⊥平面, ,作如圖3折疊,折痕 ,其中點(diǎn)分別在線段上,沿折疊后點(diǎn)疊在線段上的點(diǎn)記為,并且⊥.(1)證明: ⊥平面;
(2)求三棱錐的體積.
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【題目】設(shè)函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng), 時(shí),求證: .
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【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上[0,1]的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算出曲線y=f(x)及直線x=0,x﹣1=0,y=0所圍成部分的面積S,先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)X1 , X2 , X3 , XN和y1 , y2 , y3 , yN , 由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi , yi)(i=1,2,3N,再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i=1,2,3,N)的點(diǎn)數(shù)N1 , 那么由隨機(jī)方法可以得到S的近似值為 .
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【題目】觀察下列等式:13+23=32 , 13+23+33=62 , 13+23+33+43=102 , …,根據(jù)上述規(guī)律,得到一般結(jié)論是 .
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【題目】已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且 , ,若B,O,D三點(diǎn)共線,則t的值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保只知識(shí)競(jìng)賽”,全校學(xué)生參加了這次競(jìng)賽.為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分取正整數(shù),滿分為 分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表(如圖所示),解決下列問題.
(1)求出的值;
(2)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)是 分以上(含 分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取 名同學(xué)到廣場(chǎng)參加環(huán)保只是的志愿宣傳活動(dòng).
1)求所抽取的 名同學(xué)中至少有 名同學(xué)來自第 組的概率;
2)求所抽取的 名同學(xué)來自同一組的概率.
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【題目】設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),令h(x)=f(x)g(x),且對(duì)任意x1 , x2∈(0,+∞),都有 <0,g(1)=0,則不等式xh(x)<0的解集為 .
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