Question

2．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{x}$-lnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求b的取值范圍；
（Ⅱ）若b=1，是否存在實數(shù)a使得f（x）恰有兩個不同零點，若存在，求出a的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為b-x≥0在[1，e]恒成立，求出b的范圍即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=a-$\frac{x}$-lnx，（x＞0），f′（x）=$\frac{b-x}{{x}^{2}}$，
若函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
則b-x≥0在[1，e]恒成立，
∴b≥e；
（Ⅱ）b=1時，f（x）=a-$\frac{1}{x}$-lnx，（x＞0），f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_max=f（1）=a-1，
若存在實數(shù)a使得f（x）恰有兩個不同零點，
則a-1＞0，解得：a＞1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．