Question

已知橢圓C中心為坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2

21

，離心率為

1

2

（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同兩點P，Q，且OP⊥OQ，求點O到直線l的距離．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由題意可得

e= c a = 1 2 2b=2 21 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關系，再利用

OP

⊥

OQ

?

OP

•

OQ

=0，及點到直線的距離公式即可得出．

解答：解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由題意可得

e= c a = 1 2 2b=2 21 a2=b2+c2

，解得

b= 21 c= 7 a2=28

，
∴橢圓C的方程為

x2

28

+

y2

21

=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+m x2 28 + y2 21 =1

，消去y得到（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0．
∵△＞0，∴64k²m²-16（3+4k²）（m²-21）=0，化為m²=21+28k²．（*）
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-84

3+4k2

．（**）
∵OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m），
∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．
把（**）代入可得

(1+k2)(4m2-84)

3+4k2

+

-8k2m2

3+4k2

+m2=0．
化為m²=12+12k²=12（1+k²），∴

|m|

1+k2

=2

3

．
∴點O到直線l的距離d=

|m|

1+k2

=2

3

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積得關系、點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．