Question

【題目】函數(shù)，．

（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有極大值點(diǎn)，且．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）求導(dǎo)可得，繼續(xù)求導(dǎo)得到，判斷的正負(fù)，進(jìn)而可得到的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞減，結(jié)合時(shí)，，可以證明為的極大值點(diǎn)，同時(shí)可以知道，而，所以有，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證明，即可得證.

解：（1）定義域?yàn)?/span>，

，，

令，，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，∵，∴，，，設(shè)，∵，，∴，∴，∴，使得，時(shí)，，時(shí)，，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)．

∵，即①，，當(dāng)時(shí)，，且由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以，②，將①代入②整理得：，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，所以當(dāng)時(shí)，恒成立．