Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA1=

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，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別為A₁C和BB₁上的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 證明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）證明：B₁E∥平面AFC．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)AB=1，AC=AA1=

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，∠ABC=60°，可知AB⊥AC，而A₁A⊥平面ABC，AB?平面ABC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AB⊥A₁A，又AC∩A₁A=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB⊥平面A₁ACC₁，又A₁C?平面A₁ACC₁，從而AB⊥A₁C；
（II）取AC的中點(diǎn)D，連接ED、FD，根據(jù)中位線可知DE∥B₁F且DE=B₁F，則四邊形B₁FDE為平行四邊形，從而B₁E∥FD，又B₁E?平面AFC，F(xiàn)D?平面AFC，根據(jù)線面平行的判定定理可知B₁E∥平面AFC．

解答：證明：（I）∵AB=1，AC=AA1=

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，∠ABC=60°
∴AB⊥AC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中
∴A₁A⊥平面ABC，而AB?平面ABC
∴AB⊥A₁A，又AC∩A₁A=A
∴AB⊥平面A₁ACC₁，而A₁C?平面A₁ACC₁，
∴AB⊥A₁C；
（II）證明：取AC的中點(diǎn)D，連接ED、FD
∵D為AC的中點(diǎn)，E為A₁C的中點(diǎn)
∴DE∥B₁F且DE=B₁F
∴四邊形B₁FDE為平行四邊形
則B₁E∥FD，B₁E?平面AFC，F(xiàn)D?平面AFC
∴B₁E∥平面AFC

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關(guān)系等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．