【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)在處的切線與直線垂直時(shí)，方程有兩相異實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；

（2）若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，求使不等式在上恒成立的的取值范圍.

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）方程有兩相異實(shí)數(shù)根等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）令，不等式在上恒成立，即求的最小值，

，對(duì)a分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，從而確定出函數(shù)的最值.

試題解析：

（Ⅰ）由題設(shè)可得，令,

則令得 ,

0

遞減

極小值

遞增

，

且 有兩個(gè)不等實(shí)根 即 .

（Ⅱ）由題設(shè)有，令，

則，令 ，則

又， ， 在在單調(diào)遞增，

又，

當(dāng)，即時(shí)， ，

所以在內(nèi)單調(diào)遞增， ，所以．

②當(dāng)，即時(shí)，由在內(nèi)單調(diào)遞增，

且，

使得，

0

遞減

極小值

遞增

所以的最小值為，

又，所以 ，

因此，要使當(dāng)時(shí)， 恒成立，只需，即即可．

解得，此時(shí)由，可得．

以下求出a的取值范圍．

設(shè)， ， 得，

所以在上單調(diào)遞減，從而，

綜上①②所述， 的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)當(dāng)，不等式恒成立，求k的最大值.

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【題目】如圖，菱形ABCD與等邊△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．

（1）證明：AD⊥PB；

求三棱錐C﹣PAB的高．

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【題目】已知函數(shù)（， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸.

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的極值.

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【題目】已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．

（1）求的最小值及此時(shí)函數(shù)的最小正周期、初相；

（2）在（1）的情況下，設(shè)，求函數(shù)在上的最大值和最小值．

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【題目】如圖，有一塊半圓形空地，開發(fā)商計(jì)劃建一個(gè)矩形游泳池及其矩形附屬設(shè)施，并將剩余空地進(jìn)行綠化，園林局要求綠化面積應(yīng)最大化.其中半圓的圓心為，半徑為，矩形的一邊在直徑上，點(diǎn)在圓周上， 在邊上，且，設(shè).

（1）記游泳池及其附屬設(shè)施的占地面積為，求的表達(dá)式；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，能符合園林局的要求？

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【題目】南京市江北新區(qū)計(jì)劃在一個(gè)豎直長(zhǎng)度為20米的瀑布正前方修建一座觀光電梯。如圖所示，瀑布底部距離水平地面的高度為60米，電梯上設(shè)有一個(gè)安全拍照口， 上升的最大高度為60米。設(shè)距離水平地面的高度為米， 處拍照瀑布的視角為。攝影愛好者發(fā)現(xiàn)，要使照片清晰，視角不能小于。

（1）當(dāng)米時(shí)，視角恰好為，求電梯和山腳的水平距離。

（2）要使電梯拍照口的高度在52米及以上時(shí)，拍出的照片均清晰，請(qǐng)求出電梯和山腳的水平距離的取值范圍。

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【題目】為了讓貧困地區(qū)的孩子們過(guò)一個(gè)溫暖的冬天，某校陽(yáng)光志愿者社團(tuán)組織“這個(gè)冬天不再冷”冬衣募捐活動(dòng)，共有50名志愿者參與.志愿者的工作內(nèi)容有兩項(xiàng)：①到各班做宣傳，倡議同學(xué)們積極捐獻(xiàn)冬衣；②整理、打包募捐上來(lái)的衣物.每位志愿者根據(jù)自身實(shí)際情況，只參與其中的某一項(xiàng)工作.相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

（1）如果用分層抽樣的方法從參與兩項(xiàng)工作的志愿者中抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么“至少有1人是參與班級(jí)宣傳的志愿者”的概率是多少？

（2）若參與班級(jí)宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用表示所選志愿者中的女生人數(shù)，寫出隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．

（Ⅰ）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅱ）討論函數(shù)在上的單調(diào)性．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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