設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對一切,點(diǎn)都在函數(shù) 的圖象上.

   (Ⅰ)求的值,猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;

   (Ⅱ)將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(),(,),(,),(,,);(),(),(,,),(,,);(),…,分別計(jì)算各個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為,求的值;

 

 

 

 

 

 

【答案】

 思路點(diǎn)撥:(本題將函數(shù)與數(shù)列知識交匯在一起,考查了觀察、歸納、猜想、用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法,考查了等差數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式,考查了同學(xué)們觀察問題、解決問題的能力。(1)將點(diǎn)代入函數(shù)中,通過整理得到的關(guān)系,則可求;(2)通過觀察發(fā)現(xiàn)是第25組中第4個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和,各組第4個(gè)括號中各數(shù)之和構(gòu)成首項(xiàng)為68、公差為80構(gòu)成等差數(shù)列,利用等差數(shù)列求和公式可求.。

解:(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上,

,所以.------------------------1分

,得,所以;

,得,所以;

,得,所以

由此猜想:.…………………………………………4分

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

① 當(dāng)時(shí),有上面的求解知,猜想成立.-------------5分

② 假設(shè)時(shí)猜想成立,即成立,

則當(dāng)時(shí),注意到,

兩式相減,得,所以

由歸納假設(shè)得,,

這說明時(shí),猜想也成立.

由①②知,對一切,成立 .……………………………………8分

(Ⅱ)因?yàn)?sub>),所以數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),….每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號,  故 是第25組中第4個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和.由分組規(guī)律知,由各組第4個(gè)括號中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為20.同理,由各組第4個(gè)括號中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列,且公差均為20.故各組第4個(gè)括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為80.注意到第一組中第4個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和是68,

所以 .又=22,所以=2010.………………14分

歸納總結(jié):由已知求出數(shù)列的前幾項(xiàng),做出猜想,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明,是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合的一種重要的解決數(shù)列通項(xiàng)公式問題的方法。證明的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件和假設(shè)尋找間的關(guān)系,使命題得證。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年朝陽區(qū)綜合練習(xí)一文)(14分)

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對一切,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.

(Ⅰ)求的表達(dá)式;

(Ⅱ)將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(),(),(,),(,,);(),(,),(,,),(,,);(),…,分別計(jì)算各個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為,求的值;

(Ⅲ)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積,是否存在實(shí)數(shù),使得不等式對一切都成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記。

(Ⅰ)求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在正整數(shù),使得成立?若存在,找出一個(gè)正整數(shù);若不存在,請說明理由;

(Ⅲ)記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對任意正整數(shù)都有。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009高考真題匯編3-數(shù)列 題型:解答題

(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對任意正整數(shù)都有
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建省高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題

(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對,都有成立,

(Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列,試求數(shù)列的前項(xiàng)和.

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇省揚(yáng)州中學(xué)09-10學(xué)年高二下學(xué)期期中考試(文科) 題型:解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對一切,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.
(1)求a1,a2a3值,并求的表達(dá)式;
(2)將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(),(,),(,,),(,,,);(),(,),(,,),(,,);(),…,分別計(jì)算各個(gè)括號內(nèi)所有項(xiàng)之和,并設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為,求的值;w*w^w.k&s#5@u.c~o*m
(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積,是否存在實(shí)數(shù),使得不等式對一切都成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案