Question

16．已知△ABC中，角$B，\frac{3}{2}C，A$成等差數(shù)列，且△ABC的面積為$1+\sqrt{2}$，則AB邊的最小值是2．

Answer 1

分析 由已知，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可求C的值，利用三角形面積公式可求ab的值，進(jìn)而利用余弦定理，基本不等式可求AB邊的最小值．

解答 解：∵$B，\frac{3}{2}C，A$成等差數(shù)列，
∴A+B=3C，
又∵A+b+C=π，
∴C=$\frac{π}{4}$，
∴由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=1+$\sqrt{2}$，得ab=2（2+$\sqrt{2}$），
∵c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-$\sqrt{2}$ab，及a²+b²≥2ab，
∴c²≥（2-$\sqrt{2}$）ab=4，解得：c≥2，
∴c的最小值為2．
故答案為：2．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．