在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設直線l經過點P（3，
2
）且與x軸交于點F（2，0）．
（1）求直線l的方程．
（2）如果橢圓C經過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程．
（3）若在（1）、（2）的情況下，設直線l與橢圓的另一個交點為Q，且
PM
=λ•
PQ
，當|
OM
|取最小值時，求λ的對應值．
分析：（1）由兩點式方程能夠得到直線方程．                              
（2）設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，依題意有：
9
a2
+
2
b2
=1
a2-4=b2
，解之得到所求橢圓方程．
（3）由
x2
12
+
y2
8
=1
y=
2
(x-2)
消去y得，x2-3x=0，所以x=0或x=3，代回直線方程可得y=-2
2
，或y=
2
．由此能夠求出當|
OM
|取最小值時，λ的對應值．
解答：解：（1）直線方程為
y
x-2
=
2
1
，整理，得y=
2
(x-2)；                              
（2）設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，（5分）
依題意有：
9
a2
+
2
b2
=1
a2-4=b2
，解之得
a2=12
b2=8

所求橢圓方程為：
x2
12
+
y2
8
=1…（8分）
（3）由
x2
12
+
y2
8
=1
y=
2
(x-2)
消去y得，x2-3x=0，
所以，x=0或x=3，代回直線方程可得y=-2
2
，或y=
2

因此知Q(0，-2
2
)，P(3，
2
)，（10分）
由
PM
=λ•
PQ
知，點M在直線PQ上，
當|
OM
|最小時，OM⊥PQ，此時OM的方程為y=-
1
2
x（12分）
由
y=
2
(x-2)
y=-
1
2
x
解得M(
4
3
，-
2
2
3
)，（14分）
代入
PM
=λ•
PQ
得λ=
5
9

所以，當|
OM
|最小時，λ=
5
9
．
點評：本題考查直線方程的求法、橢圓方程的求法和當|
OM
|取最小值時，求λ的對應值．解題時要注意兩點式方程的應用、橢圓性質的運用和分類討論思想的合理運用．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經過任何整點
③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經過一個整點的直線．

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在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關于原點對稱的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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