【題目】如圖，在Rt中， ，點、分別在線段、上，且，將沿折起到的位置，使得二面角的大小為.

（1）求證：；

（2）當點為線段的靠近點的三等分點時，求與平面 所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得 ，,翻折后垂直關(guān)系沒變，仍有,平面 ，從而得； (2) 二面角的平面角，由余弦定理得,由勾股定理可得,兩兩垂直，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）

,翻折后垂直關(guān)系沒變，仍有,

.

(2) , 二面角的平面角，

，又,由余弦定理得,

,,兩兩垂直.

以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標系.

則

設(shè)平面的法向量

由可得

.

故PC與平面PEF所成的角的正弦值為 .

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設(shè)出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線y=x+b與函數(shù)f(x)=ln x的圖象交于兩個不同的點A,B,其橫坐標分別為x1,x2,且x1<x2.

(1)求b的取值范圍;

(2)當x2≥2時,證明x1·<2.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為.設(shè)拋物線的焦點在直線的下方.

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為. 判斷四邊形是否為梯形，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為，過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于兩點.

(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;

(2)若,求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為離心率為，兩準線之間的距離為8,點在橢圓上，且位于第一象限，過點作直線的垂線，過點作直線的垂線．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線的交點在橢圓上，求點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值點， ，且，求證： ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓與直線相切.

（1）若直線與圓交于兩點，求；

（2）設(shè)圓與軸的負半軸的交點為，過點作兩條斜率分別為的直線交圓于兩點，且，試證明直線恒過一定點，并求出該定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段.下表為10名學生的預賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊.

學生序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

立定跳遠（單位：米）

1.96

1.92

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

1.72

1.68

1.60

30秒跳繩（單位：次）

63

a

75

60

63

72

70

a1

b

65

在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則

（A）2號學生進入30秒跳繩決賽

（B）5號學生進入30秒跳繩決賽

（C）8號學生進入30秒跳繩決賽

（D）9號學生進入30秒跳繩決賽

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l的參數(shù)方程為,直線l與曲線C分別交于M，N兩點．若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，則a的值為________.

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