設函數(shù)f(x)=
2x
x+1
,且a1=
1
2
,  an+1=f(an)
,其中n=1,2,3,….
(I)計算a2,a3,a4的值;
(II)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)字歸納法加以證明.
分析:(I)由an+1=
2an
an+1
,a1=
1
2
,即可求得a2,a3,a4的值;
(II)由a1,a2,a3,a4,可猜想an=
2n-1
2n-1+1
,用數(shù)學歸納法證明,①當n=1時,去證明結(jié)論成立;②假設當n=k(k∈N*)時等式成立,去證明當n=k+1時,猜想也成立即可.
解答:解:(I)由題意,得an+1=
2an
an+1
,(1分)
因為a1=
1
2
,
所以a2=
2
3
,a3=
4
5
,a4=
8
9
.(3分)
(II)解:由a1,a2,a3,a4,猜想an=
2n-1
2n-1+1
(5分)
以下用數(shù)字歸納法證明:對任何的n∈N*,an=
2n-1
2n-1+1

證明:①當n=1時,由已知,左邊=
1
2
,右邊=
1
1+1
=
1
2
,所以等式成立.(7分)
②假設當n=k(k∈N*)時等式成立,即ak=
2k-1
2k-1+1
,(8分)
則n=k+1時,ak+1=
2ak
ak+1
=
2k-1
2k-1+1
2k-1
2k-1+1
+1
=
2k
2k-1+2k-1+1
=
2k
2k+1
=
2(k+1)-1
2(k+1)-1+1

所以當n=k+1時,猜想也成立.(12分)
根據(jù)①和②,可知猜想對于任何n∈N*都成立.(13分)
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)學歸納法,證明時用好歸納假設是關(guān)鍵,突出考查推理與證明的能力,屬于中檔題.
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2x+1x2+2

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2x
|x|+1
(x∈R)
,區(qū)間M=[a,b](其中a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},則使M=N成立的實數(shù)對(a,b)有(  )

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2x+3
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=( 。

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2
x+2
,點A0表示原點,點An=[n,f(n)](n∈N*).若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
,θn
an
i
的夾角[其中
i
=(1,0)]
,設Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,則
lim
n→∞
Sn
=
3
4
2
3
4
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
2x-3,x≥1
1-3x
x
,0<x<1
,若f(x0)=1,則x0等于(  )

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