Question

已知圓C經(jīng)過點A（0，1）及B（0，-1），且與直線x+y-1=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在點P（異于坐標原點），使得對圓C上的任意一點M，

MP

MO

（O為坐標原點）的值均保持不變（即為同一常數(shù)），若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）由于圓C經(jīng)過點A（0，1）及B（0，-1），且與直線x+y-1=0相切．可設C（a，0），利用切線的性質(zhì)可得CA⊥直線x+y-1=0．利用k_CA•（-1）=-1，解得a=-1．利用兩點之間的距離公式可得|CA|=

(-1)2+1

=r．即可得出．
（2）如圖所示，假設存在P（a，0）滿足題意，當取M(

2

-1，0)時，

MP

MO

=

a-( 2 -1)

2 -1

；當取M(-1-

2

，0)時，

MP

MO

=

a+ 2 +1

2 +1

；利用

a-( 2 -1)

2 -1

=

a+( 2 +1)

2 +1

，解得a=1．可得

MP

MO

=

2

．P（1，0）．設M（x，y），假設

MP

MO

=

(x-1)2+y2

x2+y2

=

2

，證明方程與圓C的方程相同即可．

解答： 解：（1）∵圓C經(jīng)過點A（0，1）及B（0，-1），且與直線x+y-1=0相切．
∴可設C（a，0），則CA⊥直線x+y-1=0．
∴k_CA•（-1）=-1，∴

1

-a

=1，解得a=-1．
∴|CA|=

(-1)2+1

=

2

=r．
∴圓C的方程為：（x+1）²+y²=2．
（2）如圖所示，假設存在P（a，0）滿足題意，
當取M(

2

-1，0)時，

MP

MO

=

a-( 2 -1)

2 -1

；當取M(-1-

2

，0)時，

MP

MO

=

a+ 2 +1

2 +1

；
∴

a-( 2 -1)

2 -1

=

a+( 2 +1)

2 +1

，解得a=1．
可得

MP

MO

=

2

．P（1，0）．
設M（x，y），假設

MP

MO

=

(x-1)2+y2

x2+y2

=

2

，
化為（x+1）²+y²=2．
因此點M在圓C上，滿足題意．
因此在x軸上存在點P（1，0），使得對圓C上的任意一點M，

MP

MO

=

2

為同一常數(shù)．

點評：本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、圓的點滿足特殊性質(zhì)，考查了取特殊點探究一般性規(guī)律的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．