Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=1，點(diǎn)（S_n，a_n+1）在直線y=3x+1上，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)遞推公式可得{a_n}為等比數(shù)列，從而得出通項(xiàng)公式；
（II）求出b_n，利用分項(xiàng)求和得出T_n．

解答 解：（I）由題意得a_n+1=3S_n+1，∴a_n=3S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=3a_n（n≥2），即a_n+1=4a_n，
又a₂=3a₁+1=4=4a₁，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．
∴${a_n}={4^{n-1}}$．
（II）${b_n}={log_4}{4^n}=n$，∴${c_n}={4^{n-1}}+n$，
∴${T_n}=1•\frac{{1-{4^n}}}{1-4}+\frac{（n+1）n}{2}=\frac{1}{3}•{4^n}+\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比關(guān)系的確定，等差數(shù)列，等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．