Question

【題目】定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，則不等式exf（x）＞ex+3（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）

A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）

Answer 1

【答案】A

【解析】

試題分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解

解：設(shè)g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），

則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，

∵f（x）+f′（x）＞1，

∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，

∴g′（x）＞0，

∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，

∵exf（x）＞ex+3，

∴g（x）＞3，

又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，

∴g（x）＞g（0），

∴x＞0

故選：A．