已知函數(shù)f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．
（1）求函數(shù)M(x)=
f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|
2
的最大值；
（2）如果對f（x2）f（
x
）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
（1）f（x）-g（x）=3（1-log2x），
當x＞2時，f（x）＜g（x）；當0＜x≤2時，f（x）≥g（x），
∴M（x）=
3-2log2x，x＞2
log2x，0＜x≤2

當0＜x≤2時，M（x）的最大值為1；當x＞2時，M（x）＜1．
綜上：當x=2時，M（x）取到最大值為1．
（2）由f（x2）f（
x
）＞kg（x）得：（3-4log2x）（3-log2x）＞k•log2x，
令t=log2x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，
∴（3-4t）（3-t）＞kt對一切t∈[0，2]恒成立．
①當t=0時，k∈R；
②當t∈（0，2]時，k＜
(3-4t)(3-t)
t
恒成立，即k＜4t+
9
t
-15，
∵4t+
9
t
≥12，當且僅當4t=
9
t
，即t=
3
2
時取等號．
∴4t+
9
t
-15的最小值為-3，∴k＜-3．
綜上k的取值范圍是k＜-3．
練習冊系列答案
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3-x
+
1
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3-x
+
1
x+2
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3-ax
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已知函數(shù)f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．
（1）當x∈[1，4]時，求函數(shù)h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）如果對任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)•f(
x
)＞k•g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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