Question

已知曲線C：y=x³-3x²+2x，直線l：y=kx，且l與C切于點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀≠0），則切點(diǎn)坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)切點(diǎn)（x₀，y₀）既在曲線上，又在切線上，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率．聯(lián)立方程組解之即可．

解答： 解：∵直線過(guò)原點(diǎn)，則k=

y0

x0

，（x₀≠0）．
由點(diǎn)（x₀，y₀）在曲線C上，則y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴

y0

x0

=x₀²-3x₀+2．
又y′=3x²-6x+2，
∴在（x₀，y₀）處曲線C的切線斜率應(yīng)為k=f′（x₀）=3x₀²-6x₀+2．
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2．
整理得2x₀²-3x₀=0．
解得x₀=

3

2

（∵x₀≠0）．
這時(shí)，y₀=-

3

8

，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)是（

3

2

，-

3

8

）．
故答案為：（

3

2

，-

3

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．