Question

【題目】已知數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若對(duì)于一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列中存在某項(xiàng)滿足成等差數(shù)列？若存在，求出符合題意的的集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，的集合為，4，6，10，18，

【解析】

（1）求得數(shù)列的首項(xiàng)，再將換為，兩式相除，化簡(jiǎn)，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；

（2）求得，運(yùn)用作差判斷數(shù)列的單調(diào)性，可得最小值，結(jié)合不等式恒成立問(wèn)題解法，可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得所求的范圍；

（3）求得，假設(shè)存在正整數(shù)，使得數(shù)列中存在滿足，，，成等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和整除的性質(zhì)，可判斷存在性．

（1）數(shù)列滿足，

可得時(shí)，，即，

時(shí)，，又，

兩式相除可得，化為，

即數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，可得；

（2），，

設(shè)，

，

可得，

則數(shù)列為遞增數(shù)列，的最小值為，

對(duì)于一切，不等式恒成立，

可得，即有或

解得：；

（3）設(shè)，則，，，

假設(shè)存在正整數(shù)，使得數(shù)列中存在滿足，，，成等差數(shù)列，

可得，即，

當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，

又為正整數(shù)，為不小于6的正整數(shù)，可得，2，4，8，16，32，

即，25，17，13，11，10，滿足題意，

故存在正整數(shù)，使得數(shù)列中存在滿足，，，成等差數(shù)列，

且的集合為，4，6，10，18，．