Question

5．已知f（x）=3^x+2xf′（1），則曲線f（x）在點(diǎn)x=0處的切線在x軸上的截距為$\frac{1}{5ln3}$．

Answer 1

分析 由題意求出f′（x）令x=1代入求出f′（1），可求出f（x）和f′（x）的表達(dá)式，再求出f（0）和f′（0）的值，代入點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)求出切線方程，令y=0代入切線方程求出x的值即可．

解答 解：由題意知，f（x）=3^x+2xf′（1），
∴f′（x）=（ln3）•3^x+2f′（1），
令x=1代入上式得，f′（1）=（ln3）•3+2f′（1），
解得f′（1）=-3ln3，
∴f（x）=3^x-6（ln3）x，f′（x）=（ln3）•3^x-6ln3，
∴f（0）=1，f′（0）=ln3-6ln3=-5ln3，
則在x=0處的切線方程是y-1=-5ln3（x-0），即y=-5（ln3）x+1，
令y=0代入得，x=$\frac{1}{5ln3}$，
∴曲線f（x）在x=0處的切線在x軸上的截距為：$\frac{1}{5ln3}$，
故答案為$\frac{1}{5ln3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程，以及直線的截距問題，是中檔題．