Question

13．已知遞增等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₃a₅=45，S₇=49，則數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為（　　）

• A． $\frac{2n}{2n-1}$
• B． $\frac{n}{2n-1}$
• C． $\frac{2n}{2n+1}$
• D． $\frac{n}{2n+1}$

Answer 1

分析 通過設{a_n}的公差為d，利用a₃a₅=45，S₇=49，聯(lián)立方程組，進而可求出第四項和公差，然后求解通項公式，化簡數(shù)列的通項公式，裂項、并項相加求和即可．

解答 解：（1）設{a_n}的公差為d，則由題意遞增等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₃a₅=45，S₇=49，知a₄=7，
（7-d）（7+d）=45，即-d²=-4
解得d=2，
∴a_n=7+（n-4）×2=2n-1．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為：$\frac{1}{2}[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．