已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
，且過點(diǎn)(4，-
10
)，
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線系kx-y-3k+m=0（其中k為參數(shù)）所過的定點(diǎn)M恰在雙曲線上，求證：F1M⊥F2M．
（1）∵e=
2
，∴
c
a
=
2
，∴c2=2a2=a2+b2，∴a=b，
∴設(shè)雙曲線方程為x2-y2=a2（a＞0），∵雙曲線經(jīng)過(4，-
10
)，∴16-10=a2即a2=6，
∴所求雙曲線方程為
x2
6
-
y2
6
=1．----------（4分）
（2）∵直線系方程可化為k（x-3）-y+m=0
∴直線系過定點(diǎn)M（3，m）．------------（5分）
∵M(jìn)（3，m）在雙曲線上，∴9-m2=6，，∴m2=3
又雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-2
3
，0)，F2(2
3
，0)
∴kF1M=
m
3+2
3
，kF2M=
m
3-2
3
-----------（7分）
∴kF1M•kF2M=
m2
(3+2
3
)(3-2
3
)
=-1∴F1M⊥F2M----------（10分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y=x+2，與拋物線x2=y交于A（xA，yA），B（xB，yB）兩點(diǎn)，l與x軸交于點(diǎn)C（xC，0）．
（1）求證：
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
；
（2）求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積；
（3）某同學(xué)利用TI-Nspire圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證結(jié)果時(shí)（如圖1所示），嘗試拖動(dòng)改變直線l與拋物線的方程，發(fā)現(xiàn)
1
xA
+
1
xB
與
1
xC
的結(jié)果依然相等（如圖2、圖3所示），你能由此發(fā)現(xiàn)出關(guān)于拋物線的一般結(jié)論，并進(jìn)行證明嗎？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=x，直線l：y=k（x-1）+1，要使拋物線C上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，問在橢圓C上是否存在一點(diǎn)M，使四邊形AMBF2為平行四邊形，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若直線y=kx+2與曲線y=
x2-1
，|x|＞1
1-x2
，|x|≤1
恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k∈______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y=-x2+2x，在點(diǎn)A（0，0），B（2，0）分別作拋物線的切線L1、L2．
（1）求切線L1和L2的方程；
（2）求拋物線C與切線L1和L2所圍成的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓的方程為x2+y2=4，過點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A1、A2，直線A1A2恰好經(jīng)過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點(diǎn)Q、R，求證
OQ
•
OR
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)y在軸上，焦距為2
3
，且過點(diǎn)M(-
13
4
，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)N(
1
2
，1)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且N恰好為AB中點(diǎn)，能否在橢圓C上找到點(diǎn)D，使△ABD的面積最大？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓E：（x+
3
）2+y2=16，點(diǎn)F（
3
，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案