Question

求證：(1)平行六面體的各對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在這一點(diǎn)互相平分．

(2)對(duì)角線相等的平行六面體是長方體．

已知：平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁

求證：(1)對(duì)角線AC₁、BD₁、CA₁、DB₁相交于一點(diǎn)，且在這點(diǎn)互相平分；

(2)若AC₁＝BD₁＝CA₁＝DB₁時(shí)，該平行六面體為長方體．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵AA1∥BB1，BB1∥CC1， 　　∴AA1∥CC1． 　　∴對(duì)面角A1ACC1是平行四邊形． 　　∴CA1與AC1相交，且互相平分． 　　設(shè)CA1∩AC1＝0，則O為CA1，AC1的中點(diǎn)． 　　同理，可證DB1與AC1及AC1與D1B也相交于一點(diǎn)，且互相平分． 　　交點(diǎn)也是O． 　　∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一點(diǎn)，且互相平分． 　　(2)∵平行六面體AC1的對(duì)角線面A1C1CA、B1D1DB都是平行四邊形．且它們的對(duì)角線A1C、B1D、C1A、D1B都相等． 　　∴對(duì)角面A1C1AC，B1D1DB都是矩形． 　　因此CC1⊥A1C1 　　∴BB1⊥B1D1 　　又∵BB1∥CC1 　　∴BB1⊥A1C1 　　∴BB1⊥平面A1C1 　　∴平行六面體A1C是直平行六面體 　　同理可證：CB⊥平面A1B，則BC⊥AB． 　　∴平面四邊形ABCD是矩形． 　　∴直平行六面體A1C是長方體．