Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）（c為常數(shù)）
（1）證明：{

an

n

}是等差數(shù)列；
（2）若{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，試給出不依賴于n的一個充分必要條件，使得數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列，并說明理由．
（3）問是否存在正整數(shù)p，q（p≠q）使a_p=a_q成立？若存在，請寫出c滿足的條件，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）化簡變形得

an+1

n+1

-

an

n

=c，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義進行判定即可；
（2）根據(jù)（1）求出a_n的通項公式，而{

an

}是等差數(shù)列的充要條件是

an

=an+b，然后化簡變形可求出c的值；
（3）若要使存在正整數(shù)p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，則p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值，注意p+q的范圍．

解答：解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴

an+1

n+1

=

an

n

+c，即

an+1

n+1

-

an

n

=c
從而數(shù)列{

an

n

}是首項為1，公差為c的等差數(shù)列
（2）由（1）可得 

an

n

=1+（n-1）c，即a_n=cn²+（1-c）n
{

an

}是等差數(shù)列的充要條件是

an

=an+b
即a²n²+2abn+b²=n²+（1-c）n
∴c=1
（3）若要使存在正整數(shù)p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，
則p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-

1

c

，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），則c=

1

1-k

（k∈N且k≥3）．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的判定，以及新數(shù)列是等差數(shù)列的充分不必要條件，同時考查了計算能力，屬于中檔題．