15．若雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線的傾斜角是直線l：x-2y+1=0傾斜角的兩倍，則雙曲線的離心率為（　�。�
A．$\frac{5}{3}$B．$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$C．$\frac{5}{4}$D．$\frac{4}{3}$

分析 由題意，tanα=$\frac{1}{2}$，tan2α=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，得出$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，利用e=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$得出結(jié)論．

解答 解：由題意，tanα=$\frac{1}{2}$，tan2α=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查二倍角公式的運(yùn)用，屬于中檔題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等，現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體：圖①是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體；圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺(tái)和半球，則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為（　�。�
A．①②B．①③C．②④D．①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

6．在銳角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，AC的取值范圍為（　　）
A．$（{1，\sqrt{2}}）$B．$（0，\sqrt{2}]$C．$（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$D．$（{1，\sqrt{3}}）$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{5}{4}$sinx，x∈R．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）若f（α）=1，α∈（0，$\frac{π}{2}$），求f（2α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．為治療某種流行疾病，醫(yī)生讓某患者服用一種抗生素，規(guī)定每天早上八時(shí)服一片，現(xiàn)知該藥片每片含藥量為128毫克，他的腎臟每天可從體內(nèi)濾出這種藥的50%，問：
（1）經(jīng)過多少天，該患者所服的第一片藥在他體內(nèi)殘留不超過1毫克？
（2）如果抵抗這種疾病要求體內(nèi)的藥物含量不低于25毫克，該患者自服藥起的6天內(nèi)都能抵抗這種疾病，那么該患者應(yīng)至少連續(xù)服藥多少天？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比1：27．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．在棱長為3的正方體內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到正方體各個(gè)面的距離都不小于1的概率為$\frac{1}{27}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，O為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，已知AA1=AB=2，∠BAD=60°；
（1）求證：平面A1BC1⊥平面B1BDD1；
（2）求點(diǎn)O到平面BC1D的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

5．$\int_1^2{\frac{{{x^2}+1}}{x}}dx$=$\frac{3}{2}$+ln2．

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