Question

給出公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
我們可以根據(jù)公式將函數(shù)g(x)=sinx+

3

cosx化為：g(x)=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2(sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

)=2sin(x+

π

3

)的形式；
（1）根據(jù)你的理解，試將函數(shù)f(x)=sinx+cos(x-

π

6

)化為f（x）=Asin（ωx+φ）或f（x）=Acos（ωx+φ）的形式．
（2）求出（1）中函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間．
（3）求出（1）中的函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值以及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）先利用兩角差的余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，仿照條件，即可推出結(jié)果．
（2）直接利用周期公式求出函數(shù)的周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（3）利用（1）的結(jié)果，根據(jù)x的范圍，求出x+

π

6

的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）f(x)=sinx+cos(x-

π

6

)=sinx+cosxcos

π

6

+sinxsin

π

6

=

3

2

sinx+

3

2

cosx=

3

(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=

3

sin(x+

π

6

)…（4分）
（2）最小正周期T=

2π

1

=2π，…（5分）
減區(qū)間：2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z解得2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

，k∈Z
所以單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

](k∈Z)…（7分）
（3）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，…（9分）
當(dāng)x+

π

6

=

π

6

，即x=0時，函數(shù)有最小值

3

2

，
當(dāng)x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，函數(shù)有最大值

3

…（13分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，利用題設(shè)解答，注意三角函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值的求法，考查計算能力．