Question

設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且g（-2）=0，則不等式f（x）g（x）＞0的解集是（　�。�

• A、（-2，0）∪（2，+∞）
• B、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• C、（-∞，-2）∪（0，2）
• D、（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：令F（x）=f（x）g（x），由于f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，可得F（x）是R上的奇函數(shù)．
由于當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，可得F′（x）＜0，函數(shù)F（x）在x＜0時單調遞減，
由于g（-2）=0，可得F（-2）=0，得到F（x）＞0的解集為x＜-2．利用奇函數(shù)的單調性，當x＞0時，F(xiàn)（x）＞0的解集為0＜x＜0．

解答： 解：令F（x）=f（x）g（x），
∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）．
∴F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），
∴F（x）是R上的奇函數(shù)．
①∵當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，
∴F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，
∴函數(shù)F（x）在x＜0時單調遞減，
∵g（-2）=0，∴F（-2）=0，
∴F（x）＞0的解集為x＜-2．
②利用奇函數(shù)的單調性，當x＞0時，F(xiàn)（x）＞0的解集為0＜x＜0．
綜上可得：f（x）g（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（0，2）．
故選：C．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．