Question

9．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}，x∈[0，1）\\ 1-|x-3|，x∈[1，+∞）\end{array}\right.$則函數(shù)$F（x）=f（x）-\frac{1}{π}$的所有零點(diǎn)之和為$\frac{1}{1-2π}$．

Answer 1

分析 求出x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式，畫出R上的圖象，構(gòu)造f（x）與y=$\frac{1}{π}$交點(diǎn)問題，利用對(duì)稱性求解，注意確定交點(diǎn)坐標(biāo)求解．

解答 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}，x∈[0，1）\\ 1-|x-3|，x∈[1，+∞）\end{array}\right.$，
∴x＜0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2x}{1-x}，x∈（-1，0]}\\{|x+3|-1，x∈（-∞，-1]}\end{array}\right.$畫出圖象：
∵函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{1}{π}$，
∴f（x）與y=$\frac{1}{π}$交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
根據(jù)圖象可設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，

根據(jù)圖象的對(duì)性可知；x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
∴x₁+x₂=x₃=x₄=x₅=x₃，
∵$\frac{-2x}{1-x}$=$\frac{1}{π}$，x=$\frac{1}{1-2π}$，
故函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{1}{π}$的所有零點(diǎn)之和為：$\frac{1}{1-2π}$．
故答案為：$\frac{1}{1-2π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性，圖象的對(duì)稱性，函數(shù)的零點(diǎn)與構(gòu)造函數(shù)交點(diǎn)的問題，屬于中檔題，關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式，畫圖象．考查數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用．