Question

（本題滿分15分）已知在定義域上是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，圖像如圖所示.

（1）化簡：；

（2）畫出函數(shù)在上的圖像；

（3）證明:在上是減函數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（1）

；

（2）圖像

（3）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

【解析】

試題分析：(I)由于f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x),所以可知,因而所求式子的結(jié)果為0.

(II)根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直接可畫出在對(duì)稱區(qū)間[-b,-a]上的圖像.

（III）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義及函數(shù)的奇偶性進(jìn)行證明.

第一步：取值，第二步：作差變形，第三步根據(jù)差值符號(hào)得到結(jié)論.

（1）

……

（2）圖像……

（3）任取，且          ……

.

又函數(shù)在上是減函數(shù)，所以 .  ……

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315250890211368/SYS201301131525395896867597_DA.files/image004.png">是奇函數(shù)，所以，即，

故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).              …….

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性定義，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的圖像.

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的奇偶性一要看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二要看f(-x)與f(x)是相等還是互為相反數(shù).奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明分三個(gè)步驟：一取值，二作差變形，三判斷差值符號(hào).