Question

（本題滿分15分）

已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）解關(guān)于的不等式：；

（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為 ；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）          …………………………2分

                           …………………………4分

當(dāng)時(shí)，無解；                                    …………………………5分

當(dāng)時(shí)，解集為；                  …………………………6分

當(dāng)時(shí)，解集為                      …………………………7分

（Ⅱ）方法一：若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)根

，顯然,得：        ……………………………9分

令，                       …………………………11分

若時(shí)，單調(diào)遞減且，                 …………………………12分

若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上遞增,……14分

要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，需滿足在上有兩個(gè)不同解，

得:，即：                               ……………………15分

法二：設(shè)， 

則是方程的兩個(gè)根，則，    …………………………9分

若時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，方程不可能有兩個(gè)根……11分

若時(shí)，由，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，  單調(diào)遞減      …………………………13分

，得       …………………………15分

考點(diǎn)：一元二次含參不等式的解法。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值。

點(diǎn)評(píng)：（1）解一元二次含參不等式的主要思想是分類討論，常討論的有二次項(xiàng)系數(shù)、兩根的大小和判別式?；（2）第二問方法一的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為“有兩個(gè)不同解”，根據(jù)構(gòu)造函數(shù)來求。