Question

14．如圖，某城市有一塊半徑為40m的半圓形綠化區(qū)域（以O(shè)為圓心，AB為直徑），現(xiàn)對其進行改建，在AB的延長線上取點D，OD=80m，在半圓上選定一點C，改建后綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為Scm²．設(shè)∠AOC=xrad．
（1）寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S（x），并指出x的取值范圍；
（2）試問∠AOC多大時，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值．

Answer 1

分析 （1）求出扇形區(qū)域AOC、三角形區(qū)域COD的面積，即可求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S（x），并指出x的取值范圍；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，S=$\frac{1}{2}•40x•40$+$\frac{1}{2}•40•80•sin（π-x）$
=800x+1600sinx（0＜x＜π）；
（2）S′=800+1600cosx，
∴0≤x≤$\frac{2π}{3}$，S′＞0，π＞x＞$\frac{2π}{3}$，S′＜0，
∴x=$\frac{2π}{3}$，S取得最大值$\frac{1600π}{3}$+800$\sqrt{3}$m²．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，屬于中檔題．