Question

【題目】已知正方形，分別是的中點(diǎn)，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為

（1）證明：

（2）若為正三角形，試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的身影是否在直線上，證明你的結(jié)論，并求角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

（1）沿折起，其它邊不變，可知且，則有四邊形為平行四邊形，那么，又由于，，故；（2）解法一：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為G，連接，由于，則有，故點(diǎn)A在CD的中垂線EF上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，由已知得，故，則即是，設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)已知邊和角的關(guān)系可以求得；方法三：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上證法同法一，建立空間直角坐標(biāo)系，先求平面CED的法向量，再求平面ADE的法向量，可得二面角的余弦值，進(jìn)而得到．

解：（1）證明：分別是正方形的邊的中點(diǎn)，

∴且，則四邊形為平行四邊形，

∴.

又，而，

∴

（2）解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接.

∵為正三角形，，∴，

∴在垂直平分線上，又∵是的垂直平分線，

∴點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，則，∴是二面角的平面角，即.

設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為，連接，在折后圖的中，，

∴為直角三角形，，∴.

在中，，∴，則，即.

解法二：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，連接，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，垂足為

∵為正三角形，為的中點(diǎn)，

∴.

又∵，∴.

∵，∴

又∵且，

∴

∴為在平面內(nèi)的射影，

∴點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，則，∴是二面角的平面角，即.

設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為，連接，在折后圖的中，，

∴為直角三角形，，∴.

在中，，∴，則，即.

解法三：（同解法一）

點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，

如圖，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)點(diǎn)作平行于的向量為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，連接，.所以，，，，.

又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

則，即，所以

所以，即.