Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a．
（1）若f（x）在區(qū)間（-∞，1]是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上有最大值為3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f（x）對稱軸必在x=1的右邊，故x=-

2a

2•(-1)

≥1，由此a的范圍．
（2）根據(jù)f（x）對稱軸為x=a，分①當(dāng)a≤0時(shí)、②當(dāng) 0＜a＜1時(shí)、③當(dāng) a≥1時(shí)三種情況，分別根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值為3，求得實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：（1）由題意：f（x）對稱軸必在x=1的右邊，故x=-

2a

2•(-1)

≥1，
解得a≥1，故a的范圍為[1，+∞）．
（2）f（x）對稱軸為x=a，故①當(dāng)a≤0時(shí)，
∵f（x）在區(qū)間（0，1]上為f_max（x）=f（0）=1-a=3，∴a=-2．
②當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1]上為f_max（x）=f（a）=-a²+2a²+1-a=3，
解得a=-1（舍去），或a=2 （舍去）．
③當(dāng) a≥1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1]上為f_max（x）=f（1）=-1+2a+1-a=3，
解得a=3．
綜上所述，a=-1，或a=3．

點(diǎn)評：本題主要二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．