已知：如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.

(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形.

解析：(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，

∴DF⊥平面PAC.PA平面PAC.

∴DF⊥AP.

作DG⊥AB于G.同理可證DG⊥AP.

DG、DF都在平面ABC內(nèi)，

∴PA⊥平面ABC.

(2)連結(jié)BE并延長(zhǎng)交PC于H.

∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.

又已知AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥BH.

∴PC⊥面ABE.

∴PC⊥AB.

又∵PA⊥平面ABC.∴PA⊥AB.

∴AB⊥平面PAC.

∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點(diǎn)，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得D點(diǎn)到平面PAG的距離為1？若存在，求出BG的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點(diǎn)，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）點(diǎn)G在線段BC上，且BG=
3
，求點(diǎn)D到平面PAG的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=2，E為PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.

(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形.

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